Beschränktes Wachstum, Mathe-Aufgaben

Bestimmung von B(n), Proportionalitätsfaktor c, Zeitschritt n; Textaufgaben

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Welche Art von Wachstum liegt vor?

Frau A. kauft sich jeden Monat 5 Paar Schuhe.
linear

exponentiell

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Sei B(n) der Bestand nach dem n-ten Zeitschritt. Unterscheide die drei Wachstumsarten:

Linear: Zunahme pro Zeitschritt ist - absolut - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) + d
Exponentiell: Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · a.
Beschränkt: Zunahme pro Zeitschritt ist proportional zum Sättigungsmanko S − B(n) [S ist die Sättigungsgrenze], d.h.
B(n + 1) = B(n) + c · [S − B(n)]

Sei B(n) der Bestand nach dem n-ten Zeitschritt. Beschränktes Wachstum liegt vor, wenn sich B(n) nach folgender rekursiven Formel berechnen lässt:

B(n + 1) = B(n) + c · [S − B(n)]

S drückt die Schranke des Wachstums aus, c das (konstante) Verhältnis von absoluter Zunahme und dem Sättigungsmanko S − B(n).

Schneller lässt sich B(n) oft mit folgender (nicht rekursiven) Formel berechnen:

B(n) = S − (1 − c)ⁿ · [S − B(0)]

Beispiel 1

Die Größe B entwickelt sich, ausgehend vom Anfangsbestand B(0) = b, gemäß der rekursiven Formel für beschränktes Wachstum. Bestimme B(3), wenn bekannt ist: b = 600; B(1) = 780; Proportionalitätsfaktor c = 0,3.

Beispiel 2

Die Größe B entwickelt sich, ausgehend vom Anfangsbestand B(0) = b, gemäß der rekursiven Formel für beschränktes Wachstum. Bestimme B für die ersten 3 Zeitschritte, wobei b = 1000; Schranke S = 5000; Proportionalitätsfaktor c = 0,4.