Infinitesimalrechnung, Mathe-Aufgaben
Infinitesimalrechnung, Aufgaben und Online-Übungen inkl. Lösung, Erklär-Videos und Hilfestellungen.
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Viele unterschiedliche Mathe-Aufgaben und Mathe-Übungen zu 266 Themen der Schulmathematik.
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Ableitung - Kettenregel
Kettenregel angewendet auf (Summen von) Potenzfunktionen und trigonometrische Funktionen -
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Ableitung - Potenzfunktion - ganzzahliger Exponent
Ableitung von Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponent und ganzrationalen Funktionen (Summen- und Faktorregel); betrachtet werden auch Funktionen mit Parametern -
≈Oberstufe - Aufgaben + Stoff
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
Produktregel und Quotientenregel angewendet auf (Summen von) Potenzfunktionen und trigonometrische Funktionen -
≈Oberstufe - Aufgaben + Stoff
Ableitung - trigonometrische Funktionen
Ableitung von sin und cos, verbunden mit Summen- und Faktorregel -
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Ableitung und Monotonie
Bestimmung von Monotonieintervallen anhand des Graphen und mit Hilfe der ersten Ableitung -
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Differenzierbarkeit und Ableitungsfunktion
Untersuchung von abschnittsweise definierten Funktionen und Betragsfunktion auf Differenzierbarkeit; Zusammenhang zwischen f, f´ und F (Stammfunktion) anhand von Graphen -
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exp und ln - Ableitung
Ableitungsregeln für exp und ln (natürliche Exponentialfunktion/natürliche Logarithmusfunktion), Produkte, Quotienten und Verkettungen von exp und ln mit anderen Funktionen und deren Ableitungen -
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exp und ln - Gleichungen lösen
Gleichungen lösen, die sich auf e^f(x)=b bzw. ln(...)=b zurückführen lassen -
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exp und ln - Grenzwertbetrachtungen
Verhalten für x → ∞ und für x → x0 bei Funktionen, die sich u.a. aus exp oder ln zusammensetzen -
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exp und ln - Verschiebung, Streckung und Spiegelung
Spiegelung des Graphen an der x- und y-Achse, Verschiebung in x- und y-Richtung, Streckung und Stauchung -
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exp und ln- Funktionsuntersuchung
Funktionen und Funktionsscharen, die exp oder ln enthalten, hinsichtlich Dmax, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Symmetrie des Graphen zum KOSY, relativen Hoch- und Tiefpunkten und weiterer Aspekte untersuchen. -
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Extremwertaufgaben
Beschreibung vorgegebener Größen (Länge, Fläche, Umsatz, Gewinn) mit Hife von Termen und Berechnung von Minimal- oder Maximalwerten (Optimierung). -
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Funktionenschar
Eigenschaften von Funktionenscharen in Abhängigkeit vom Scharparameter -
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Funktionsuntersuchung - ganzrationale Funktionen
Untersuchung auf Symmetrie zum KOSY, Nullstellen, Verhalten für große |x|, Extrema, Wendepunkte -
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Funktionsuntersuchung - gebrochen-rationale Funktionen
Symmetrie zum KOSY, Nullstellen, Monotonie, Hoch- und Tiefpunkte -
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Funktionsuntersuchung - trigonometrische Funktionen
Symmetrie zum KOSY, Nullstellen, Monotonie, Hoch- und Tiefpunkte -
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Gebrochen-rationale Funktionen - Funktionsterm und Graph
Gebrochen-rationale Funktionen hinsichtlich Definitionsmenge, Polstellen, Nullstellen, Asymptoten untersuchen und den Graph zeichnen; den Term einer gebrochen-rationalen Funktion anhand gegebener Eigenschaften bestimmen -
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Gebrochen-rationale Funktionen - Polstellen
Verhalten von f(x) in der Umgebung von Definitionslücken -
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Gebrochen-rationale Funktionen - waagrechte und schräge Asymptoten
Verhalten von f(x) für x→±∞; Bestimmung der Gleichung von waagrechten und schrägen Asymptoten -
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Integral - Berechnung mit Stammfunktion
Stammfunktion von Potenz-, trigonometrischer und natürlicher Exponentialfunktion (auch zusammengesetzt), bestimmtes Integral mit Hilfe von Stammfunktion berechnen -
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Integral - Betrachtungen ohne Stammfunktion
Integrale grob abschätzen und elementargeometrisch bestimmen, Streifenmethode, Integralfunktion und deren Beziehung zur Integrandenfunktion -
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Integral - Flächenberechnung
Bestimmung von Flächen zwischen Graph und x-Achse sowie Flächen zwischen zwei Graphen, auch in Abhängigkeit von Parametern -
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Mittlere und lokale Änderungsrate
Berechnung von mittleren und lokalen (momentanen) Änderungsraten mittels Steigungsdreieck und Differenzenquotient bzw. Differentialquotient -
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Modellieren von Wachstums- und Abklingvorgängen
Beschreibung von Wachstums- und Abklingvorgängen mit Hilfe der natürlichen Exponentialfunktion; u.a. Ermittlung des Wachstumsfaktors, der Wachstumsgeschwindigkeit, Verdoppelungs- und Halbwertszeit; Basiswechsel von b zu e -
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Natürlicher Logarithmus
Rechenregeln, logarithmische Gleichungen -
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Potenzfunktion - rationaler Exponent - Ableitung
Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalem Exponent, wobei die Funktion in Potenz- oder in Wurzelschreibweise vorliegt; betrachtet werden auch Funktionen mit Parametern -
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Stammfunktion
Zeigen, dass F(x) Stammfunktion von f(x) ist; F(x) nach Ableitungsregel (rückwärts) ermitteln; Graphen von F und f einander zuordnen; Eigenschaften von F und f graphisch ermitteln -
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Stetigkeit
Begriff verdeutlichen, abschnittweise definierte Funktion auf Stetigkeit überprüfen bzw. so ergänzen, dass sie stetig ist -
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Tangentengleichung und Steigungswinkel
Bestimmung des Steigungswinkels einer Tangente/Normalen an einer vorgegebenen Stelle; Bestimmung der Tangente an einer vorgegebenen Stelle des Graphen bzw. mit vorgegebenen Eigenschaften (Steigung, Steigungswinkel); Bestimmung des Berührpunkts der Tangente, die durch einen bestimmten Punkt geht -
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Verfahren von Newton
Annähernde Bestimmung von Nullstellen mit dem Verfahren von Newton -
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Zweite Ableitung/Krümmung/Wendepunkt
Bestimmung der lokalen Krümmung eines Graphen / maximaler Krümungsintervalle / relativer Extrema mit Hilfe der zweiten Ableitung. Zusammenhang der Graphen von f, f´und f ´´. Bestimmung von Wendepunkten und Wendetangenten.
Fragen und Antworten zum Thema "Infinitesimalrechnung"
- Was sind Polstellen (bei gebrochen-rationalen Funktionen) und wie verhält sich ein Graph in ihrer Umgebung?
- Wie bestimmt und spezifiziert man eine Polstelle?
- Was ist eine behebbare Definitionslücke?
- Woran sieht man bei einer gebrochen-rationalen Funktion, welche Asymptoten der Graph (außer senkrechten) evtl. noch hat?
- Bei welchen Funktionen kommt die Kettenregel zum Einsatz und wie lautet sie?
- Wie lautet die Produktregel?
- Wie lautet die Quotientenregel?
- Ableitung von f(x) = a · xr ?
- Wie bestimmt man die mittlere Änderungsrate einer Funktion? Welcher synonyme Begriff ist gebräuchlich?
- Interpretiere die mittlere und die lokale Änderungsrate graphisch.
- Was ist der Differentialquotient und wozu dient er?
- Wann ist eine Funktion f an der Stelle x=a nicht differenzierbar?
- Was lässt sich aus dem Vorzeichen von f ´ (x) ablesen?
- Was versteht man unter einer Stammfunktion F von f? Was sagen die Werte von f über F aus?
- Erläutere die "Ableitungskette".
- Ableitung von sin und cos ?
- Wie lässt sich die Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt des Graphen rechnerisch bestimmen?
- Welche Aspekte betrachtet man im Rahmen einer vollumfänglichen Funktionsuntersuchung (Kurvendiskussion)?
- Sei f eine Funktion mit zugehörigem Graph Gf. Wie ist f(x) abzuwandeln, damit der neue Graph gegenüber Gf in x-/y-Richtung gestreckt/gestaucht, in x-/y-Richtung verschoben, an der x-/y-Achse gespiegelt ist?
- Wie erhält man die zweite Ableitung f´´, wenn f(x) gegeben ist? Existiert f´´ immer?
- Stelle den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen von f´ bzw. f´´ und dem Verlauf des Graphen von f dar.
- Wie bestimmt man die Krümmungsintervalle eines Graphen?
- f´ habe bei x0 eine Nullstelle. Wie lässt sich mit Hilfe von f´´ feststellen, ob dort ein relatives Extremum existiert und wenn ja von welcher Art es ist? In welchem besonderen Fall hilft f´´ einem nicht weiter/wie geht man dann vor?
- Gib den Term der Ableitung der exp-Funktion und der ln-Funktion an.
- Was drückt der Limes von f(x) für x → c− bzw. x → c+ aus?
- Wie verhält sich exp(x) für x → ±∞?
- Wie verhält sich die ln-Funktion an den Rändern ihres Definitionsbereichs?
- Wohin strebt für x → ∞ der Quotient aus xn und ex bzw. die Differenz aus ex und xn? Wohin strebt für x → −∞ das Produkt aus ex und xn ?
- Wohin strebt für x → ∞ der Quotient aus ln(x) und xn und für x → 0+ das Produkt aus ln(x) und xn ?
- Wie kann das bestimmte Integral geometrisch gedeutet werden?
- Was versteht man unter einer Integralfunktion und welche Eigenschaften besitzt diese?
- Wie lässt sich die Fläche zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem bestimmten Intervall abschätzen? Nenne die zugehörigen Fachbegriffe und erläutere diese.
- Wie geht man vor, wenn die Fläche zwischen zwei Graphen in einem bestimmten Intervall bestimmt werden soll, sofern der Verlauf beider Graphen nicht oder nicht genau (bzgl. evtl. Schnittpunkte) bekannt ist?
- Wie ermittelt man eine Stammfunktion einer Potenzfunktion?
- In welchen Fällen lässt sich zu einem Bruchterm ganz einfach der Term einer Stammfunktion finden und wie lautet die entsprechende Formel?
- Gib Stammfunktionen von exp, sin und cos an. Was ist bei einer Stammfunktion von f(ax+b) zu beachten?
- Unter welcher Bedingung lässt sich die Fläche, die ein Graph in einem bestimmten Intervall mit der x-Achse einschließt, mit Hilfe eines einzigen Integrals bestimmen? Wie geht man genau vor?
- Unter welcher Bedingung lässt sich die Fläche, die zwei Graphen in einem bestimmten Intervall einschließen, mit Hilfe eines einzigen Integrals bestimmen? Wie geht man genau vor?
- Wie geht man vor bei Optimierungsaufgaben?
- Was hat der Differenzenquotient mit der lokalen Änderungsrate zu tun?
- Formuliere die Produkt- und die Quotientenregel der Ableitung.
- Vom Graphen einer Polynomfunktion n-ten Grades, deren Funktionsterm unbekannt ist, kennt man Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, relative Extrempunkte und/oder Wendepunkte. Wie geht man vor, um den Term zu bestimmen?
- Was versteht man unter einer Funktionenschar und was ist bei Berechnungen zu beachten?
- Was versteht man unter einer Ortskurve und wie lässt sich ihre Gleichung bestimmen?
- Durch welche Änderung des Funktionsterms bewirkt maneine Spiegelung an der x-Achse bzw. y-Achse?eine Verschiebung in y-Richtung?
- Wie lautet die Gleichung der Asymptote bei Exponentialfunktionen vom Typ f(x) = a ekx+b
- Wie funktioniert die Ableitung bei einer verketteten Funktion, wenn die innere Funktion linear ist? Wie heißt die Ableitung von: f(x) = ex f(x) = sin(x) f(x) = cos(x) f(x) = xn
- In welcher Form lassen sich Bruchterme evtl. vereinfachen? Nenne drei Techniken, mit deren Hilfe sich diese Form evtl. herstellen lässt.
- Gebrochen rationale Terme können auch ohne faktorisierbar zu sein evtl. in ganzrationale Form gebracht werden. Gib die Bedingung dafür an. Welcher Vorteil ergibt sich daraus für das Ableiten?
- Wie lautet der Term der Ableitung von f(x) = a·xm und welche zwei Spezialfälle fallen darunter?
- Was sind die Erkennungsmerkmale für die Symmetrie zur y-Achse bzw. zum Ursprung bei einer Funktion? Wie kann man diese Eigenschaften bei ganzrationalen Funktionen sofort erkennen?
- Man kann auch die lokale Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle x0 mit Hilfe geeigneter Differenzenquotienten bestimmen. Wie?
- Sei f eine ganzrationale Funktion, deren Grad ungerade und deren Leitkoeffizient (Faktor vor der höchsten x-Potenz) eine negative Zahl ist. Was lässt sich bzgl. der Ableitung und jeder Stammfunktion von F folgern?
- Wie löst man Gleichungen der Art ef(x)=b ?
- Wie löst man Gleichungen der Art ln(...)=b? Welche Gleichung ergibt sich im Spezialfall b=0?
- Erkläre das Begriffspaar "stetig" und "unstetig" und nenne ein Beispiel für eine nicht stetige Funktion.
- Was ist eine abschnittweise definierte Funktion und wie lässt sich diese auf Stetigkeit untersuchen?
- Woran erkennt man graphisch, dass eine Funktion an einer Stelle nicht differenzierbar ist?
- Wie lässt sich ein Term, der von Betragsstrichen umgeben ist, betragsfrei schreiben?
- Wie ist der Steigungswinkel einer Geraden definiert? Welcher Zusammenhang besteht mit der Steigung m der Geraden?
- Was versteht man unter der Normalen des Graphen einer Funktion in einem bestimmten Punkt und wie berechnet man ihre Steigung?
- Definiere die Begriffe "streng monoton steigend/fallend".
- Wie erhält man zum Graphen einer Funktionenschar den passenden Parameterwert?
- Wie bestimmt man die Funktionsgleichung der Tangentenschar bzgl. des Graphen einer gegebenen Funktion?
- Wie lautet die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion?
- Wie stehen ex und ln(x) zueinander?
- Wie lautet ein passender Funktionsterm bei der Modellierung von exponentiellen Wachstums- und Abklingvorgängen?Wofür stehen die einzelnen Parameter und wie kann man die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit bestimmen?
- Wie lässt sich der Funktionsterm eines Wachstums- oder Abklingvorgangs mit beliebiger Basis als natürliche Exponentialfunktion (mit Basis e) schreiben und umgekehrt?
- Was versteht man unter der Verdopplungs- bzw. Abklingzeit? Wie kann man diese Werte bei gegebenem Funktionsterm jeweils ermitteln?
- Welche Rechenregeln gibt es für den Logarithmus?
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