Wie kann ein gebrochen rationaler Term in eine ganzrationale Form umgewandelt werden und welchen Vorteil hat das beim Ableiten?

Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.

Beispiel
f
 
x
=
2x
7
−
3x
+
5
0,5x
f´
 
x
=
?
Lösung: Vorsicht, man darf nicht einfach den Zähler und den Nenner getrennt voneinander ableiten; das wäre eine "selbst erfundene Regel". Aber man kann den Term so umformen, dass der große Bruchstrich verschwindet.
f
 
x
=
2x
7
0,5x
−
3x
0,5x
+
5
0,5x
=
2
0,5
·
x
7
x
−
3
0,5
·
x
x
+
5
0,5
·
1
x
kürzen
=
4x
6
−
6
+
10x
−
1
f´
 
x
=
24x
5
−
0
−
10x
−
2
=
24x
5
−
10x
−
2
Um negative Exponenten zu vermeiden, kann das Ergebnis natürlich auch so geschrieben werden:
f´
 
x
=
24x
5
−
10
x
2
Siehe auch

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